复变函数核心精讲

本文作为复习笔记并不贪大求全。只聚焦于复变函数最核心最难理解的几个定理与概念，做出清晰梳理与透彻讲解。以期达到原理通透内化于心运用自如的目标。其中包含作者曾经的困惑，以及深思后的正解。对相似易混淆的定理公式采用对比指出不同点及原因。本文篇幅较长，分两篇发表。

目录：

0.复变函数概念与图像

1.C-R方程

2.解析函数

3.柯西积分定理

3.1 推论

4.柯西积分公式

4.1推论

5.洛朗级数

6.留数定理

（注:本文包含0.-3.节）

正文

0. 复变函数概念与图像

复变函数是指自变量与函数值都是复数的函数。函数f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)，自变量z=x+i*y。虚数单位i2=-1。

函数的实部和虚部分别是关于x,y的二元函数。

函数图像

不像一元或二元实函数的图像，复变函数不能在一张函数坐标图上直观表示自变量与函数值的关系。因为复变函数的自变量和函数值都是复数，一个复数表示为复平面上的一个点；函数的定义域就是一个点集，在一个Z平面上表示；函数的值域也是一个点集，在一个W平面上表示；复变函数图像就是从Z平面的图像(点集)到W平面的图像(点集)的映射；因此表示复变函数图像需要两张坐标图。

1.C-R方程 （柯西-黎曼方程）

称为柯西-黎曼方程，这是复变函数可导（复可微）的必要条件。

证明：

复变函数导数定义：

(1)

不同于实函数导数，因为∆z=∆x+i∆y所以∆z有无穷多方向。复函数的导数要满足不论∆z是什么方向，只要∆z→0,f’(z)都相等。这个条件比实函数导数严格得多。因此可导的必要条件之一是：沿x轴方向的导数= 沿y轴方向的导数.

沿x方向: ∆y=0，∆z=∆x。代入（1）得

(2)

沿y方向: ∆x=0，∆z=i∆y。代入（1）得

(3)

令（2）=（3）得

得证。

2.解析函数

复变函数的研究对象是解析函数。它是整体性概念，是指函数在一个区域内都可导(复可微)。

定义：点解析：若 f(z) 在 z_0 及其某邻域内处处复可微，则称 f(z) 在 z_0 处解析。 （注意：仅在 z_0 一点复可微，不能称其在 z_0 解析，必须保证邻域内都可微）。区域解析：若 f(z) 在区域 D 内每一点都解析，则称 f(z) 是区域 D 内的解析函数（或全纯函数、正则函数）。奇点：若 f(z) 在 z_0 处不解析，但在 z_0 的任意邻域内都有解析点，则称 z_0 为 f(z) 的奇点。判定条件：

定理：设 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域 D 内有定义，则 f(z) 在 D 内解析的充要条件是：

实部 u(x,y) 和虚部 v(x,y) 在 D 内处处具有一阶连续偏导数；u(x,y) 和 v(x,y) 在 D 内处处满足 C-R 方程。 实函数全平面可导则复函数解析

幸运的是，只要实函数在全平面可导则复函数解析，无需计算验证。即：如果f(x)在全平面可导，把自变量x换成复数z，则f(z)一定是解析函数。

3.柯西积分定理

若函数f(z)在闭的单连通域D内解析，则沿D中任意一个分段光滑的闭曲线C（可以是D的边界）有

证明：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), dz=dx+idy,

由二元函数闭合曲线积分的格林公式可知

则

(2)

再把C-R方程

代入(2)得

证毕。

3.1 推论

柯西积分定理有3个重要推论。

1）解析函数线积分的值与路径无关（只与起点和终点有关）

设L1与L2是具有相同起点和相同终点的两条曲线段，则L1与L2- 构成一个闭合曲线C。即C=L1+L2-。由柯西积分定理得

。因为

,把前一公式移项即得

。证毕。

说明：这个推论对于计算解析函数的线积分非常重要。对于已知两点之间任意曲线的线积分都可以把积分路径替换成直线（折线段）化为定积分问题来计算。

例1：C为从1+i到3-4i的直线段，求积分

。

解：选积分路径从1+i到3+i，从3+i到3-4i的两条直线段。则

2）定理2：设D是复回路

围成的复连通域，f(z)在D上解析，则

。即外边界积分等于内边界积分之和.其中 C1,C2, ..., Cn是分段光滑曲线，积分都是沿逆时针方向进行。

补充知识：

证明：通过添加连接内外边界的辅助线，容易把复连通域变成单连通域（图3.7）。由柯西积分定理得

。而沿相同路径反方向的两条辅助线的积分相加又会抵消（如图3.7中AB与B’A’），最后得复连通域D的边界是

。则

。因为

,把前一公式移项即得

。证毕。

问：与单连通域柯西积分定理对比，多连通域的外边界C0也是闭合曲线，为什么沿C0的积分不等于0？答：因为C0包围的区域不全是解析域不符合柯西积分定理条件。对于多连通域来说，内外边界之和构成解析域的完整边界。外边界只是边界的一部分。

3）定理2特例：考虑内部只有一个空洞（即环形）的复连通域,则。

说明：这个定理表明，围绕一个奇点的任意闭合曲线积分都相等。因为复平面挖去这个奇点后都是解析域。考虑奇点的ε邻域，任何围绕奇点的闭合曲线都包含这个邻域，再根据定理2，这些闭合曲线的积分都和ε邻域围线积分相等。

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