一、增根与同解方程的基本概念

1、什么根是增根？

用我们自己的话说，求解分式方程或根式方程，以及其它的特式方程时。一般情况下都要把它们化为整式方程，解整式方程所得到的根，不能够满足原方程，这样的根就是原方程的增根。

2、什么是同解方程？

将原分式方程转化为整式方程，求解的整式方程的根，同时能够满足原方程，那么这个整式方程和原分式方程就是同解的方程。

二、同解方程的产生

下面结合可以化为一元二次方程的分式方程或根式方程，我们来探讨增根产生的原因。

为了求解方程的值，一般情况下，都是要把复杂的方程变形为简单的方程。

例如:解方程

5x²-10x+6=x²+2

解这个方程，要依据方程的基本原理为求解的理论根据，首先将方程变形。

解:方程的两边同时减去一个代数式，x²+20，得

4x²-10x-14=0，(1)

再将(1)两边同时除以2得

2x²-5x-7=0，(2)

求解方程(2)的根是:

x=7/2和x=-1

由此我们知道同解方程产生的原因是，因为要求的是原方程(1)的根，而得到的是方程(2)的根。把方程(2)的根。只需要代入方程(1)进行检验。那么x=7/2和x=-1，也能够满足方程(1)的需求，那么这两个根也是方程(1)的两个根。即也是原方程的根，由此可知这两个方程是同解方程。

一般情况下，如果根据方程的基本原理进行变形的过程是:

(1)、方程两边加或减同一个代数式

(2)、方程的两边同时乘或除以不为零的代数式

那么变形后的方程和原方程则是同解方程。

要特别注意:方程的两边同时乘或除以一个不为零的数，而不是“零”或“包含未知数的代数式”，否则所得到的方程可能不是同解方程。

例如:解方程2x²=x，(3)

如果两边同时除以x，得:

2x=1，(4)

我们可以看到方程(4)只有一个根，即:x=1/2。而方程(3)有两个根，x=0和x=1/2。那么方程(3)和方程(4)则不是同解方程。

三、增根的产生

在我们解方程，2x²=x时，将方程的两边同时除以x，这种情况是不可以避免的。实际我们不该去进行那种变形，但是对于一些特式方程也只能这样处理。

例如:解方程

(1/x-2)+3=(x-1/x-2)，(5)

为了求解这个方程的值，先要把这个方程化为整式方程，必须将方程的两边同时乘以x-2得:

1+3(x-2)=x-1，(6)

方程(6)的根是x=2，它不能满足方程(5)。所以(5)与(6)不是同解方程。变形后的方程所得到的根如果不能满足原方程，那么我们所求解的根就是原方程的增根。这种情况也是产生增根的具体原因。那么:x=2就是方程(5)的增根。

用一句话概括，无论分式方程与根式方程，或其它的特式方程。将它们转化为整式方程之后，我们求解的整式方程，所得到的根只能满足整式方程，却不能能满足原方程，那么这样的根就是原方程的增根。

综上解读增根的产生与同解方程的基本概念，使用的是个人的语言和观点，不一定正确，仅供参考。若有争议，则以现行教材为准

作业与要求

1、(1/x-2)+3=x-1/x-2

2、(60/x-2)+(300-60/x)=4

3、(√x²+3x)=3x-1