在网上看到一道题，很有韵味。题目呈现如下图所示：

审题：题目直接给出顶角和底边，其实就给了一个隐藏条件，即告诉了这个三角形外接圆的直径。用正弦定理可以立即得到2R(R表示三角形外接圆半径)。

接下来的解题思路是求高或者求两腰。求高比较简单，求两腰需要用到正弦定理。求出两腰之后可以在很多的三角形面积公式中选择一个，就可以算出三角形面积。比如说：S=½bcsinα.

现在我们先计算三角形外接圆直径2R。请看正弦定理的公式：

根据以上公式计算直径，过程如下：

解法一

知道了三角形外接圆直径，就可以用求高的思路快速解题。请看下图：

直径是8√2，那么半径就是4√2。图片来自评论区，直接写出了答案。图中的点o是三角形外接圆的圆心，所以OA=OB=OC=4√2。BC是圆中弦，所对圆周角是所对圆心角的一半，因为角A=45°，所以∠BOC=90°。又因为三角形OBC是等腰直角三角形，所以三角形ABC的高h=4+4√2。

那么，答案就像水晶一样透明了。

解法二

如果没有看出三角形的高，就要走弯路了。比如说用相交弦定理求高。

用d表示直径，h表示三角形的高，根据相交弦定理可得：

h(d-h)=4×4=16

现在知道d=8√2，求高也不难，解一元二次方程而已。过程如下：

设高为x，列一元二次方程，用求根公式计算，得高=x₁，再计算三角形面积：

解法三(求腰)

根据正弦定理求两腰很简单，但是需要计算sin67.5°，我们来计算一下：

回顾一下数学老师教的知识。sin45°=sin(180°-45°)=sin135°，

cos135°=-cos(180-135)°=-cos45°

而67.5×2=135，所以可以用半角公式计算sin67.5度，即sin67.5°=sin22.5°。思路油然而生，赶紧回忆一下数学老师教的半角公式：

现在我们开始计算sin67.5°，角α=135°，计算过程如下图所示：

我们得到了sin67.5°的解析解，可以求两腰了，过程如下图所示：

设三角形的两条腰为x，根据正弦定理列方程，解得腰AB=AC=x，现在可以用三角形正弦面积公式计算了。

可以选择的三角形面积公式太多了。比如，已经知道三边长，可以用海伦公式，又知道了三角形外接圆直径，可以用下面的公式，等等。

为了简化计算，可以选择α=45°，b和c对应两腰的三角形正弦面积公式。计算过程如下图所示：

解法四(辅助线)

这个解法的思路很巧妙，请看下图：

图片来自评论区。从点B向AC作垂线，构造出等腰直角三角形，设三角形的直角边为a，则斜边AB为√2a。用勾股定理算出a的值，就知道底边(√2a)和高(a)了，再用三角形面积公式就得到答案了。

其它解法

本题解法很多，再举个例子。从点A向底边BC作垂线，垂足是D.这时有两条路选择，求高还是求两腰？

求腰AB可以考虑下面的解法：

cosB=cos67.5°=4:AB

求高的话可以考虑下面的解法：

tanB=tan67.5°=AD:4

读者可以自己动手解题试试。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。